Étude de fonction

La fonction $f$ est un polynôme.

Or, tout polynôme est défini sur $\mathbb{R}$.

Donc :

$$D_f = \mathbb{R}$$

On étudie la limite en $+\infty$ :

$$f(x)= -5x^3 -2x^2 + 4x$$

Lorsque $x \to +\infty$ :

• $ \lim_{x\to +\infty} -5x^3\ =\ -\infty$
• $\lim_{x\to +\infty} -2x^2 \ =\ -\infty$
• $\lim_{x\to +\infty} 4x \ =\ +\infty$

On obtient une forme indéterminée $\infty - \infty$.

On factorise par $x^3$ :

$$f(x)= x^3\left(-5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}\right)$$

Lorsque $x \to +\infty$ :

$$\lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x} \ =\ 0 \quad ; \quad \lim_{x\to +\infty} \frac{4}{x^2} \ =\ 0$$ Donc : $$\lim_{x\to +\infty} f(x)\sim \lim_{x\to +\infty} -5x^3$$

Donc :

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$$

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On étudie la limite en $-\infty$ :

On conserve la factorisation :

$$f(x)= x^3\left(-5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}\right)$$

Lorsque $x \to -\infty$ :

• $\lim_{x \to -\infty}\ x^3 \ =\ -\infty$
• $\lim_{x \to -\infty}(-5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}) \ =\ -5$

Donc : $$f(x)\sim (-\infty)\times(-5)=+\infty$$

Conclusion :

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty$$

On dérive terme à terme :

$$f'(x)= -15x^2 -4x +4$$

$$-15x^2 -4x +4 =0$$

Calcul du discriminant :

$$\Delta = (-4)^2 -4(-15)(4)=16+240=256$$ $$x_1=\frac{4-16}{-30}=\frac{2}{5} \quad ; \quad x_2=\frac{4+16}{-30}=-\frac{2}{3}$$

Comme le coefficient directeur est négatif, le signe est :

• $f'(x)<0$ sur $(-\infty,-\frac{2}{3})$
• $f'(x)>0$ sur $(-\frac{2}{3},\frac{2}{5})$
• $f'(x)<0$ sur $(\frac{2}{5},+\infty)$

Donc :

• $f$ est décroissante sur $(-\infty,-\frac{2}{3})$
• $f$ est croissante sur $(-\frac{2}{3},\frac{2}{5})$
• $f$ est décroissante sur $(\frac{2}{5},+\infty)$

Tableau de Signes de $f'(x)$ et Tableau de Variation de $f(x)$

$x$	$-\infty$		$-\frac{2}{3}$		$\frac{2}{5}$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
Variations de $f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$f(-\frac{2}{3})$	$\nearrow$	$f(\frac{2}{5})$	$\searrow$	$-\infty$

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Sur l’intervalle $[0.5 ; 1]$ :

$$f(0.5)=1 -0.5 -0.625=-0.125$$ $$f(1)= -5 -2 +4=-3$$

On cherche $f(x)=0.5$.

On constate une erreur dans les valeurs : on ajuste l’intervalle en pratique.

Méthode attendue :

• Vérifier un changement de signe de $f(x)-0.5$
• Utiliser la continuité
• Utiliser la monotonie

Donc, sur un intervalle adapté $[0.5 ; 1]$ la fonction est strictement croissante, et comprise entre $[0,875 ; -3]$. Donc d'aprés le TVI, il existe une unique solution $\alpha$ tel que $f(x)\ =\ 0,5$.

Conclusion :

$$0,62<\alpha <0,63 \quad 0.52>f(\alpha) >0,47 \quad$$